حل معادلات انتگرال فردهلم و ولترا با استفاده از تبدیلات انتگرالی لاپلاس و فوریه و روش موجک ها

برای حل معادلات انتگرال چندین روش عددی وجود دارد. ما در این پایان نامه از تبدیلات انتگرالی لاپلاس و فوریه و روش موجک ها برای حل معادلات انتگرال استفاده می کنیم. تبدیل لاپلاس برای حل معادلات انتگرال و معادلات انتگرال- دیفرانسیل نوع پیچشی مورد استفاده قرار می گیرد . در ابتدا تبدیل لاپلاس مسئله را در نظر می گیریم آنگاه جواب با استفاده ازمعکوس تبدیل لاپلاس بدست می آید. یک روش برای ارائه تابعی که به صورت تحلیلی قابل بیان نباشد این است که تابع به صورت مجموع توابعی شناخته شده ارائه شود. برای مثال بسط تیلور که محاسبه چند جمله اول آن تخمین خوبی از تابعی مفروض است اما اگر این تابع به صورت متناوب با دوره تناوب t باشد بسط آن به صورت سری های سینوسی و کسینوسی مناسب ترین روش است که منجر به تعریف سری فوریه می شود. سری فوریه در تحلیل بیشتر مسائل مربوط به فیزیک، ریاضی و علوم مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد. اگردر این مسائل فاصله تناوب زیاد شود طوری که بی نهایت گردد و یا این که تابع f(x) متناوب نباشد مجبوریم به جای استفاده از سری فوریه از انتگرال فوریه و تبدیل فوریه استفاده کنیم. تبدیل فوریه برای حل معادلات انتگرال منفرد نوع پیچشی زمانی که حدود انتگرال نامتناهی است استفاده می شود. به این صورت که می توان این تبدیل را روی معادلات مذکور اثرداد و با استفاده از خواص این تبدیل و با وجود معکوس این تبدیل به جواب واقعی مسئله دست یافت. آنالیز موجک ها یکی از دستاورد های نسبتاً جدید که مبتنی بر چندین دهه پژوهش است. امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی انجام یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است. در این پایان نامه از روش موجک ها برای حل معادلات انتگرال استفاده می کنیم. برای حل معادله انتگرال فردهلم، ابتدا تقریب های موجک که پایه هایی متعامدند، برای هسته و قسمت ناهمگن معادله انتگرال که توابعی معلوم می باشند و همچنین برای جواب معادله انتگرال که تابعی نامعلوم است در نظر گرفته و سپس با استفاده از ماتریس های عملیاتی انتگرال به یک دستگاه معادلات خطی تبدیل می شود که با حل آن جواب معادله انتگرال به دست می آید. برای حل معادله انتگرال ولترا از یک روش کالوکیشن استفاده می شود. روش شامل بسط تابع جواب با استفاده از موجک های لژاندر می باشد. برای نقاط ترتیب ما صفرهای موجک های لژاندر را انتخاب می کنیم. ویژگی های لژاندر به همراه صفرهای موجک های لژاندر باعث تحلیل معادله انتگرال به یک دستگاه از معادلات خطی می شود آن گاه جواب با حل این دستگاه معادلات خطی به دست می آید.